Heute schrieb Anatol Stefanowitsch (AS) im Sprachlog einen Beitrag über den Zusammenhang zwischen Mathematik und Wissenschaft. Zufälligerweise beschäftigt mich die Thematik im Moment noch aus einem anderen Grund, weswegen ich dort kommentieren wollte, aber bald merken musste, dass der Beitrag wohl zu lang wird, um dort als Kommentar zu versauern. Also erinnerte ich mich daran, dass ich ja hier noch einen eigenen Blog habe und poste meine Antwort lieber hier.

Zunächst zum Beitrag von AS: Dort liefert er zunächst seine Definitionen der Begriffe Wissenschaft und Mathematik:

Was ich […] mit Wissenschaft meine, ist aber der Prozess der Wissenschaft, also eine spezielle Art, Erkenntnisse über die Wirklichkeit zu sammeln und zu Modellen dieser Wirklichkeit zusammenzufügen. Dieser Prozess besteht für mich […] daraus, dass man Ausschnitte der Wirklichkeit so definiert, dass sie objektiv und nachvollziehbar messbar werden (das nennt man „Operationalisierung“), dass man dann darüber spekuliert, wie die Messgrößen zusammenhängen (dass man also Hypothesen aufstellt), und dann mit geeigneten Methoden in durch systematische Beobachtungen und Experiments versucht, diese Hypothesen zu widerlegen. Solange sie nicht widerlegt werden (bzw. […] solange sich aus den Beobachtungen und Experimenten keine näherliegenden Hypothesen ergeben), gelten die Hypothesen als vorläufige Fakten, die in ein Modell der Wirklichkeit eingebaut werden können.

Mit Mathematik bezeichne ich jedes unzweideutige, formell und algorithmisch auf seine interne Stimmigkeit hin untersuchbare Instrument zur Repräsentation von tatsächlichen oder theoretischen Größen, also Mathematik im eigentlichen Sinne ebenso wie Prädikatenlogik und andere auf die Mathematik zurückführbare Darstellungssysteme.

(Quelle, Auszeichnungen vom Original übernommen)

Die Kernaussage ASs, welche es zu verteidigen galt, lautete:

eine Wissenschaft, deren Ergebnisse sich nicht in die universelle „Sprache“ der Mathematik übersetzen lassen, [ist] ohnehin noch weit von ihrem Ziel entfernt

(Quelle, grammatikalische Anpassung von mir)

Zunächst mal ist an dieser Argumentation nicht viel auszusetzen, für sich genommen halte ich sie für stimmig.

Ein Kommentator merkte an, dass es Laut dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz keine unzweideutigen, formell und algorithmisch auf seine interne Stimmigkeit hin untersuchbaren Instrumente zur Repräsentation von tatsächlichen oder theoretischen Größen innerhalb eines mathematischen Modells geben kann. Was Gödel sinngemäß sagte ist, dass es in jedem hinreichend komplexen formalen System immer (mindestens) eine Aussage geben müsse, die sich innerhalb des Systems nicht beweisen oder widerlegen lässt. In der Mathematik umgeht man diese Problematik, indem man von vornherein Aussagen festlegt, welche arbiträr definiert, als wahr vorausgesetzt werden und auf welchen das gesamte formale System aufbaut. Das sind die so genannten Axiome. Solche Axiome bilden also die Grundbausteine, mit Hilfe derer sich weitere Aussagen ableiten, beweisen oder widerlegen lassen. Bzw. sie bilden einen Rahmen, innerhalb dessen Aussagen beweisbar oder widerlegbar sind. Wenn ich beispielswiese ein Zahlensystem habe, in welchem nur die Ziffern 0–9 und das Summenzeichen + definiert sind, werde ich mit der Aussage 9-5=4 nichts anfangen können, da das Zeichen „-“ in meinem System nicht vorhergesehen ist. Ich benötige also ein komplexeres System (das ist ein System, in welchem das Zeichen „-“ entweder definiert oder ableitbar ist), um diese Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt hin zu überprüfen.

Was sagt uns das jetzt über den Zusammenhang zwischen Mathematik (i.e. formalen Systemen) und Wissenschaft (i.e. Erkenntnisgewinn)? Nun, Erkenntnis ist Definitionssache: Nur, wenn ich die Axiome meines Systems akzeptiere, kann ich in dem System eine Aussage als Wahr oder Falsch betrachten. Besonders deutlich wird das in der Statistik: Eine Hypothese gilt als belegt (oder besser als nicht widerlegt), wenn ein zum Beleg herangezogener Zusammenhang zwischen zwei oder mehr Beobachtungen nicht als Zufall gewertet werden kann. Das ist dann der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Abweichler von meiner gewünschten Beobachtung (das ist meine Hypothese) kein Zufall ist, bei p<.001 liegt. Dann wird in der Statistik der Abweichler als zufällig und vernachlässigbar gewertet und die Daten zeigen, dass meine Hypothese durch sie nicht widerlegt werden kann.

Ein konkretes Beispiel: Meine Hypothese lautet „Wenn eine Sprache den Vokal /y/ hat, dann hat sie auch /i/“, das heisst, der Vokal /y/ taucht nur dann auf, wenn wir in derselben Sprache auch den Vokal /i/ finden. Ich gucke mir 6500 Sprachen an. 5000 Sprachen haben nur das /i/ aber kein /y/, 499 Sprachen haben weder /i/ noch /y/, 1000 Sprachen haben sowohl /i/ als auch /y/, und nur eine einzige Sprache hat das /y/ aber kein /i/. Nach statistischen Methoden ist meine Aussage dadurch nicht widerlegt, auch wenn es einen Abweichler gibt. Ein Auftauchen dessen ist jedoch so unwahrscheinlich, dass nach statistischen Maßstäben dieser als vernachlässigbar gewertet werden kann. Betrachten wir die Aussage dagegen in einem anderen, absoluten Modell (z.B. in der Aussagenlogik), ist die Hypothese eindeutig widerlegt, da sie eine Aussage über alle Sprachen darstellt, es aber wenigstens eine Sprache gibt, für die diese Aussage zu einem Widerspruch führt. Es hängt also vom formalen Modell ab, ob meine Hypothese widerlegt ist oder nicht und damit von den als wahr angenommenen Grundaussagen.

Das Dilemma liegt nun darin, dass wir einunddieselbe Aussage mit zwei formalen Systemen konfrontiert haben, das eine ergibt einen Widerspruch, das andere nicht. Beide Systeme fallen unter die Kategorie der mathematischen Modelle (wobei ich bei Statistik gerne mit mir streiten lasse, ob sie tatsächlich ein mathematischer Formalismus ist). Wie können wir uns also darauf verlassen, dass das Modell, in welchem wir uns gerade bewegen auch das richtige ist, um eine Aussage oder Hypothese zu überprüfen? Wir könnten beispielsweise alle Modelle durchprobieren und schauen, in welchem die Aussage wahr ist, was aber problematisch wird, wenn zwei Aussagen nur in unterschiedlichen Modellen beweisbar sind. Problematischer ist es allerdings, dass eine (jede?) Aussage auf diese Weise nicht widerlegt werden kann, da wir immer davon ausgehen müssen, dass es irgendein mathematisches Modell geben könnte, in welchem die Aussage wahr wird. Beweisbarkeit ebenso wie Widerlegbarkeit hängen also davon ab, welche Grundannahmen man bereit ist zu akzeptieren. Oder, um es ganz allgemein zu formulieren, Wahrheit liegt im Auge des Betrachters.

Das heisst, die Behauptung, Wissenschaft sei nur dann auf dem richtigen Weg, wenn sie sich mathematisch formalisieren lasse, ist in etwa so aussagekräftig wie die Behauptung, dass Wissenschaft nur dann auf dem richtigem Weg sei, wenn sie auf Ästhetik beruhe.

Wie eingangs erwähnt, beschäftigt mich die Universalsprache Mathematik im Moment noch aus einem ganz anderen Grund. In den letzten Wochen höre ich immer wieder die Hörspielfassung von Frank Schätzings Roman „Der Schwarm“. Ohne zu viel vom Inhalt zu verraten geht es darin unter anderem darum, mit einer fremden „intelligenten“ Spezies einen Kontakt aufzubauen. Zu diesem Zweck wird eine „Wissenschaftlerin“ vom SETI-Projekt angeworben, die diesen Kontakt erstmalig herstellen soll. Diese argumentiert, dass die ersten Kontaktversuche durch zwei einfache Mathematikaufgaben geschehen sollen. Eine intelligente Rasse müsste demnach dazu in der Lage sein, diese lösen zu können, da die Mathematik die einzige, wirklich universelle Sprache sei (Ein ähnlicher Ansatz wird auch in dem Film „Contact“ von der dortigen SETI-Mitarbeiterin, gespielt von Jodie Foster, vertreten, was daran liegt, dass beide Charaktere auf der realen SETI-Direktorin Jill Cornell Tarter basieren).

Es ist wohl unnötig zu erwähnen, dass dem nicht ganz zustimmen kann. Wie ich oben zu zeigen versuchte, ist die Mathematik und alle ihre Modelle ein von arbiträren und als wahr angenommenen Aussagen durchsetztes System, welches dem menschlichen Geist entsprungen ist. Nun könnte man darüber philosophieren, ob Intelligenz auch durch die Fähigkeit zur mathematischen Formalisierung definiert ist, das heisst, ob intelligente Wesen nur dann intelligent sind, wenn sie die Sprache der Mathematik beherrschten. Doch selbst wenn man diese Frage mit „ja“ beantworten wollte, muss man immer noch bedenken, dass diese Sprache auf Axiomen basiert, also vom Menschen erdachten Grundaussagen. Wer weiß schon, ob andere Formen der Intelligenz zufällig dieselben Axiome annehmen wie wir Menschen es tun? Und vor allem, woher will man wissen, ob diese Wesen dasselbe Verständnis von Wahrheit haben wie wir, wo unser Verständnis von Wahrheit (bzw. Beweisbarkeit, bzw. Widerlegbarkeit) nunmal ebenso an diese arbiträren Axiome gekoppelt ist?

Nun habe ich leider keine Antwort auf die Frage, was man als Grundlage für Wissen benutzen sollte, wenn nicht die Mathematik. Man sollte aber stets im Hinterkopf behalten, dass unser Verständnis von Wissen nur eine von sehr vielen Möglichkeiten ist, sich ein Gerüst zu bauen, innerhalb dessen man etwas als wahr oder falsch betrachtet. Und dass alle Erkenntnis letztlich auf Konvention beruht.

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